Under antiken lades grunderna för det man idag kallar plan geometri och det mest kända verket är tveklöst Euklides Elementa. Med endast passare och ograderad linjal kunde grekerna konstruera väldigt mycket av den matematik vi känner till idag. Även sånt som handlar om tal som exempelvis att dividera en sträckas längd med ett heltal. Eftersom förhållanden mellan sidors längd var så vanliga hade man förmodligen en bestämd uppfattning om att dessa förhållanden var 'tal', de tal som idag benäms de rationella talen, eller bråken på svenska.
Samtidigt med det här praktiska arbetssättet försökte man också för första gången i mänsklighetens historia med ett samlat grepp ställa upp axiom för den teorin. Grekerna under antiken la på så sätt grunden för deduktiv vetenskap och för formell logik. Man uppmärksammade också saker som inte var möjliga: ett exempel är cirkelsns kvadratur
Nedan följer några avsnitt som berör geometri. Det första exemplet befinner sig i tre dimensioner men steget till plan geometri är inte långt eftersom kägelsnitten själva är tvådimensionella. Kanske upptäckte man att dessa plana kurvor är snitt av ett objekt av högre dimension, en kon.
Cirklar, ellipser, parablar och hyperblar är alla snitt mellan ett plan och en kon och de kallas därför kägelsnitten. I stor förundran bestämde jag mig en sommar att slöjda dessa fyra fall. Några prototyper blev klara och om förutsättningarna återkommer någon dag kanske de blir en större seria tillverkade. Vackert med trä men mycket lättare att producera med 3D-printning i och för sig.
Jag utgick från en modell av parametriserad kurvor (källkod) och använde programmet GNU Octave för att modellera och plotta ritningar. Jag vet att det finns möjlighet att exportera till CAD-program men det blev ok med enbart vanliga plottningar och pdf-utskrifter. Alla mått stämde perfekt efter utskrift.
GNU Octave är ett program som har mycket av den funktionalitet man behöver för att lära sig Matlab bra, det program som alltid varit ledande på numeriska beräkningar.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Geogebra är ett fantastiskt verktyg för att lösa matematikuppgifter. Ursprungligen var det till för att arbeta med klassisk geometri (plan geometri) men har idag byggts utt med väldigt många andra delar. Exempelvis är det väldigt enkelt att visualisera funktioner av en variabel (analys).
Här är ett exempel på hur man genom att exportera till bilder direkt från Geogebra och med lite enkel html-kodning kan redovisa en inlämningsppgift eller laboration. Istället för att krångla med ordbehandlings- program, tex eller annat.
Redovisning och lösning med Geogebra
En sommar för länge sedan uppmärksammade jag att vissa tal förekom ofta när jag konstruerade områden med passare. Dessa återfinns såklart i enhetscirkeln och i ett hexagonalt jitter. Prova själv och kolla att du kan passa exakt sex punkter runt en cirkel. Jag undersökte sådana här areor och målade dem med akvarell för att ge varje tal lite extra tid och energi. För att komma ihåg bättre och för att det är vackert.
Ett intressant tillägg är att pi inte är algebraiskt medan roten ur ett heltal är det och dessutom förekommer rationella faktorer. Så det är ofta uttryck som q1*P+q2*A där q1,q2 är rationella, P och Q är irrationella, P är icke-algebraiskt och A är algebraiskt men inte rationellt.
Här följer de mest intressanta tal- och areakonstruktionerna.
 |